Exercícios

Exercício 1

Calcule os juros vencidos por um capital de 20.000€ durante o período de 5 meses, sendo que o mesmo capital vencerá juros mensalmente, em regime de juro simples, à taxa anual nominal de 4,5%.

R:

Juro vencido ao final do 1º mês: 20.000€ x 0,045/12 = 75€

Juro vencido ao final do 2º mês: 75€

Juro vencido ao final do 3º mês: 75€

Juro vencido ao final do 4º mês: 75€

Juro vencido ao final do 5º mês: 75€

\[ Total = \text{75€} \times \text{5} = \text{375€} \]

\[ Total = \text{20.000€} \times \text{5} \times \text{(0.045/12)} = \text{375€} \]

 

Exercício 2

Um capital de 80.000€ aplicado em regime de juro composto à taxa anual de 4% produziu, num certo prazo t, um valor acumulado de 97.333€. Calcule o prazo de aplicação.

R:

\[ C_t = C_0(1 + r)^t \]

\[ t = \log_{1+r}{(\frac{C_t}{C_0})} = \frac{\log{(\frac{C_t}{C_0})}}{\log{(1+r)}} \]

\[ 97.333 = 80.000(1 + 0.04)^t \]

\[ t = \frac{\log{(\frac{97.333}{80.000})}}{\log{(1+0.04)}} = 5.0002 \]

Ou seja, o prazo de aplicação foi de 5 anos.

 

Exercício 3

Um capital aplicado à taxa anual de 2% em regime de juros compostos gerou ao fim de quatro anos o valor acumulado de 108.243,216€. Qual o valor do capital inicialmente aplicado?

R:

\[ VA = \frac{C_n}{(1 + r)^n} \]

\[ VA = \frac{108.243,216}{(1 + 0,02)^4} = \text{100.000€} \]

O valor do capital inicialmente aplicado é 100.000€.

 

Exercício 4

Se a taxa de juro nominal \((r_n)\) = 2% e a taxa de inflação \((i)\) for de 1.5%, qual será a taxa de juro real \((r_r)\)?

R:

\[ \small \text{1 + taxa nominal} = \text{(1 + taxa real)} \times \text{(1 + taxa inflação)} \]

\[ \small \text{1 + 0,02} = \text{(1 + taxa real)} \times \text{(1 + 0,015)} \]

\[ r_r = \frac{1 + r_n}{1 + i} - 1 = \frac{1 + 0,02}{1 + 0,015} - 1 = 0,492\%\]

\[ r_r \approx r_n - i = 2\% - 1,5\% = 0,5\% \]

 

Exercício 5

Um investidor aplicou 1.000€ num depósito bancário por um ano, sendo que a taxa de juro anual real obtida foi de 6%. Sabendo que, nesse ano, a taxa de inflação foi de 6%, qual a taxa de juro anual nominal oferecida pelo banco?

R:

\[ \small \text{1 + taxa nominal} = \text{(1 + taxa real)} \times \text{(1 + taxa inflação)} \]

\[ \small \text{1 + taxa nominal} = \text{(1 + 0,06)} \times \text{(1 + 0,06)} \]

\[ \small \text{taxa nominal} = \text{1,06} \times \text{1,06} - 1 = 0,1236 = 12,36\% \]

 

Exercício 6

Um empréstimo bancário paga juros à taxa de 3% ao trimestre. Qual é a taxa de juro anual \(r_a\) equivalente?

R:

\[ (1+r_k)^k = 1 + r_a \]

Um ano tem 4 trimestres, logo \(k=4\) e \(r_4=3\%\). Assim:

\[ (1+0,03)^4 = 1 + r_a \]

\[ r_a = (1+0,03)^4 - 1 = 0,1255 = 12,55\% \]

Assim, se o empréstimo for de \(\text{1.000€}\), pagar \(r_4=3\%\) ao trimestre, ou seja \(\text{30€}\), é equivalente a pagar \(\text{12,55}\% \times \text{1.000€} = \text{125,5€}\) no fim do ano, no pressuposto que os \(\text{1.030€}\) obtidos no fim do 1º trimestre podiam ser aplicados a \(3\%\) ao trimestre e assim sucessivamente até ao final do ano.

 

Exercício 7

Na sequência do Exercício 6, mas agora com juros de \(10\%\) vencidos ao semestre.

R:

Neste caso \(r_2=10\%\), pelo que a taxa de juro anual \(r_a\) equivalente, ou seja, a TAE (Taxa Anual Efetiva) é:

\[ r_a = (1+0,1)^2 - 1 = 0,21 = 21\% \]

A TAN (Taxa Anual Nominal) é:

\[ TAN = 2 \times 10\% = 20\% \]

Note

Trata-se de uma aplicação à Taxa Anual Nominal (TAN) de 20%, com capitalização de juros semestralmente, equivalente a uma aplicação com capitalização dos juros no final do ano à Taxa Anual Efetiva (TAE) de 21%.

Taxa Anual Nominal (TAN) e Taxa Anual Efetiva (TAE)

 

Exercício 8

Se a taxa de juro anual nominal (\(r_n\)) for \(2\%\) e a a taxa de inflação (\(i\)) for \(1,5\%\), e tendo calculado anteriormente a taxa de juro real como \(0,492\%\), \(1.000\)€ recebidos hoje capitalizam ao fim de 1 ano:

a) em termos nominais (ou seja, a preços correntes)?

b) em termos reais (ou seja, a preços constantes do ano \(0\))?

R: Por resolver.

 

Exercício 9

Suponha que vai comprar um computador portátil e que quer aproveitar a campanha da loja que corresponde a pagá-lo em 12 prestações de 100 euros. Sabendo que a taxa de juro aplicável corresponde a uma Taxa Anual Nominal de 12% diga:

a) Qual é implicitamente o preço do computador?

b) Qual o valor de juros incluido nas prestações a pagar?

c) Se só pagasse o computador ao fim de um ano, e considerando a mesma taxa de juro anual de 12%, qual o montante que teria que pagar?

R:

a) \(TAN = 12\%\) significa que a taxa de juro mensal \(r_m = \frac{12\%}{12} = 1\%\)

Com esta taxa e considerando 12 períodos, o Valor Atual da anuidade é:

\[ VA = A \frac{(1 + r)^n - 1}{(1 + r)^n \times r} = 100 \times \frac{(1 + 0,01)^{12} - 1}{(1 + 0,01)^{12} \times 0,01} = 11,2550 \times 100 = 1.125,50 \]

Ou seja, \(\text{P = VA = 1.125,50€}\). É este Valor Atual (\(VA\)) encontrado da forma anterior que deverá ser igual ao preço \(P\) do bem, ou seja, o preço do computador.

b) O valor dos juros é a diferença entre o somatório das prestações pagas e o preço do computador:

\[ 12 \times \text{100€} - \text{1.125,50€} = \text{74,5€} \]

c) Se só se pagasse no fim do ano, e sendo a taxa de juro anual de \(12\%\), pagaria:

\[ \text{P} \times \text{(1 + 0,12)} = \text{1.125,50€} \times \text{1,12} = \text{1.260,56€} \]

Este montante supera obviamente a soma das 12 prestações de 100€, que é 1.200€, refletindo o facto de o pagamento ser mais tardio do que o esquema da anuidade, em que se paga do mês 1 ao 12.

 

Exercício 10

Uma pessoa pretende adquirir um iPad cujo pagamento poderá ser feito de duas formas:

a) Pagamento em 12 prestações mensais constantes de 50€ cada, incluindo capital e juro. Sabendo que a taxa de juro anual nominal aplicada é de 10% calcule o preço de compra do iPad;

b) Considerando que o preço de compra do iPad é o calculado na alínea anterior, quanto é que fica a pagar por mês (em regime de prestações mensais constantes) na hipótese de o financiamento a obter incluir um pagamento inicial de 25% do valor do iPad, 11 prestações mensais e o pagamento do valor residual de 10% do valor de compra no mês 12.

R:

a) \(TAN = 10\%\), significa que a taxa de juro mensal \(r_m = \frac{10\%}{12}\)

\[ \small \begin{aligned} P = VA \\ &= A \times f(r,n) \\ &= A \times f(\frac{0,1}{12},12) \\ &= A \times \frac{(1 + r)^n - 1}{(1 + r)^n \times r} \\ &= 50 \times \frac{(1 + 0,00833)^{12} - 1}{(1 + 0,00833)^{12} \times 0,00833} \\ &= 50 \times 11,3745 \\ &= 568,725 \end{aligned}\]

O preço de compra do iPad (\(P\)) é \(568,725\)€.

b) Sabendo que o preço de compra do iPad é \(568,725\)€. Então:

\[ 25\% \times 568,725 + A \times f(\frac{10\%}{12},11) + (10\% \times 568,725) \times \frac{1}{(1 + \frac{10\%}{12})^{12}} \]

\[ 0,25 \times 568,725 + A \times f(\frac{0,1}{12},11) + (0,1 \times 568,725) \times \frac{1}{(1 + \frac{0,1}{12})^{12}} \]

\[ f(\frac{0,1}{12},11) = 10,4693 \]

Ou seja, \(A\), a mensalidade será de \(35,8\)€.

 

Exercício 11

Para um trabalho que se prevê durar 4 anos, uma empresa pode adquirir uma máquina a pronto pagamento, o que lhe custará 10.000€, vendendo-a ao fim de 4 anos por 4.000€.

a) Qual o valor atual correspondente, se a taxa de atualização anual for de 5%?

b) Em contrapartida, se alugar a máquina por 1.500€ anuais pagos no fim de cada ano, seria vantajoso?

R:

a) Na primeira hipótese, de comprar a máquina a pronto de pagamento e revender depois de a usar, temos:

\[ VA = \frac{C_4}{(1 + r)^4} = \frac{4.000}{(1 + 0,05)^4} \]

\[ VAL = \text{Valor Atual Líquido} = - 10.000 + VA = -6.709,19 \text{€} \]

Ou seja, estou a subtrair o montante do investimento inicial, daí tratar-se do Valor Atual Líquido.

b) Nesta segunda hipótese, de aluguer, temos, usando a fórmula da anuidade sem crescimento:

\[ \small \begin{aligned} VA = A \frac{(1 + r)^n - 1}{(1 + r)^n \times r} = A f(r,n) \end{aligned} \]

\[ \small \begin{aligned} VA = - 1.500 \times \frac{(1 + 0,05)^4 - 1}{(1 + 0,05)^4 \times 0,05} = -5.318,93 \text{€} \end{aligned} \]

Ou seja, como \(-\text{5.318,93€} > -\text{6.709,19€}\), a opção de aluguer é mais barata, sendo preferível à compra.

 

Exercício 12

Quer comprar um apartamento e para isso necessita de um empréstimo de 250.000 €. Se as mensalidades de pagamento forem constantes, a taxa de juro média for de 1% ao mês (TAN=12%) e o prazo for de 30 anos, qual o valor de cada mensalidade a pagar ao banco?

R: Por resolver.